ALGEBRA PARA INGENIEROS. Teoría y Problemas

Guioma Ruiz López

Junio de 2020            Páginas: 181

Código 8409      ISBN/EAN: 9788417969950

CONTENIDO: Esta publicación sale a la luz en un momento histórico excepcional. La presente crisis provocada por el covid-19, junto con la imperiosa necesidad de mantenernos distantemente cercanos al inicio de nuestra travesía universitaria, ha precipitado su publicación electrónica. Sin menoscabo de que, cuando sea posible, la versión impresa pueda llegar a ver también pronto la luz. Escribo de hecho este prólogo cuando todavía nos encontramos en estado de alarma en España y los procedimientos para imprimir un libro no siguen un curso normal. Existe todavía una gran incertidumbre sobre la modalidad en la que se desarrollará el próximo curso, pero lo que sí es cierto y lo seguirá siendo siempre, es que necesitamos nuevos instrumentos para continuar adquiriendo certezas que ayuden a descubrir, aprender y gustar infinidad de cosas valiosas e imprescindibles en el camino universitario que estamos a punto de comenzar. He aquí un pequeño granito de arena.

Este año todos — unos más que otros — hemos experimentado nuestro límite. Una incómoda vulnerabilidad e incluso miedo. Límite, vulnerabilidad y miedo que experimentaremos muy probablemente también en el estudio del álgebra, porque el límite, la vulnerabilidad y el miedo son categorías propias de toda experiencia humana. Ahora bien, el límite no es algo negativo, contra lo que luchar. Es más bien una llamada a ir más allá de lo que veíamos antes de percibirlo. Hoy sabremos reconducir nuestra desproporción para introducirnos en un nuevo horizonte por descubrir mucho más que hace solo unos meses. Todo depende de cómo decidamos empezar a mirarlo, para comenzar a adentrarnos en él.

El límite, los errores, pueden convertirse en una especie de se˜nal de tráfico que nos indique hacia dónde dirigirnos, cómo mejorar. Dos cosas son necesarias además de la razón: la libertad — esto es, estar dispuesto a mirarlo de ese modo —, y no estar solo. Por eso este libro no pretende sustituir las clases presenciales si es que el temido rebrote forzara a dejar de impartirlas, como tampoco pretende evitar la relación directa con el profesor si la semipresencialidad que se nos impone la convirtiera en una ardua tarea. Solo pretende ser un humilde instrumento tanto para las clases presenciales como para las telemáticas, y un canal para establecer un inicio de relación con el profesor, que os ofrece su ayuda. Así os auguro que lo aceptéis.

Existen excelentes libros para el estudio del álgebra lineal, pero ninguno se adapta a los contenidos que tenemos previsto cubrir durante el curso de álgebra del primer a˜no en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Aeronáutica y del Espacio. Recurrir a los textos al uso haría más tedioso su estudio, puesto que sería necesario un uso selectivo de diferentes fuentes. Esta publicación resultará sin duda un punto de partida mucho más accesible, al ajustarse al temario, exponer siempre los oportunos ejemplos y proponer ejercicios que se encuentran siempre resueltos al final de cada tema. Lo deseable es que su estudio fomente la lectura posterior de los clásicos.

Sin más que esperar conoceros uno a uno, cara a cara o quizás pantalla a pantalla, comencemos esta aventura.

INDICE EXTRACTADO:

Introducción: Sistemas lineales, matrices y determinantes 3
Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Matrices y matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. Espacios vectoriales 19
1.2. Espacios vectoriales abstractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3. Espacios vectoriales de dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5. Suma e intersección de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Aplicaciones lineales 67
2.1. Aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2. Núcleo e imagen de una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4. Ecuaciones de una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5. Operaciones entre aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.6. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7. Apéndice: relación entre sistemas y aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . 85

3. Espacios vectoriales euclídeos 91
3.1. Producto escalar y espacio vectorial euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2. Métrica en un espacio vectorial euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3. Producto escalar y álgebra matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5. Subespacios y proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.6. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.7. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8. Apéndice: producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4. Endomorfismos diagonalizables 125
4.1. Autovalores y autovectores de un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2. Cálculo de autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3. Caracterización de los endomorfismos diagonalizables . . . . . . . . . . . . 132

5. Formas cuadráticas 141
5.1. Expresión general de una forma cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.2. Clasificación de las formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.3. Congruencia y semejanza de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6. Geometría de las cónicas y las cuádricas 153
6.1. Espacio afín euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.2. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3. Breve introducción a las cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167